Question

【题目】（建立概念）如下图，A、B为数轴上不重合的两定点，点P也在该数轴上，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点P到线段的“靠近距离”.特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点P到线段的“靠近距离”.

（概念理解）如下图，数轴的原点为O，点A表示的数为，点B表示的数为4.

（1）点O到线段的“靠近距离”为________；

（2）点P表示的数为m，若点P到线段的“靠近距离”为3，则m的值为_________；

（拓展应用）（3）如下图，在数轴上，点P表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为6. 点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动.设移动的时间为秒，当点P到线段的“靠近距离”为3时，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）5或1或7；（3）或

【解析】

（1）根据题意OA的长度即为所求；（2）分三种情况进行讨论，①当点P位于A点左侧；②点P位于线段AB上；③点P位于B点右侧，分别求解；（3）分情况讨论，当PA=3或PB=3时，分别求解.

解：（1）由题意OA=2；OB=4

∴点O到线段的“靠近距离”为2

故答案为：2；

（2）①当点P位于A点左侧时，点P表示-2-3=-5；

②点P位于线段AB上时，点P表示-2+3=1，此时PA=PB=1

③点P位于B点右侧时，点P表示4+3=7

∴m=5或1或7

故答案为：5或1或7；

（3）当PA=3时， 可得，或，

解得.

而当时，PB=14-4×3=2，<，点P到线段AB的“靠近距离”为2，不符合题意.

所以.

当PB=3时， 可得，或，

解得.

而当时，PA=，PA<PB，点P到线段AB的“靠近距离”为，不符合题意.

所以.

综上所述，所以或.