Question

【题目】如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径，E是上一点，连接AE，作OG∥AE交CE于点G．

（1）求证：BE＝EG；

（2）判断AE与CG的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）．

【解析】

作OH⊥OG，交CE于H，连接AH，先证明△COG≌△AOH（SAS），可得出CG＝AH和∠AHO＝∠CGO＝135°，得出，再由AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径得出，进而证的△BCG∽△BAE，得出∠CEB＝45°，从而证的△BGE三等腰直角三角形，即可得出BE＝EG.

（1）如图1，证明：作OH⊥OG，交CE于H，连接AH，

∵OG∥AE，

∴∠OGH＝∠AEC＝45°，

∴∠OHG＝45°，

∴OG＝OH，

又∵∠COG＝∠AOH＝90°﹣∠AOG，OC＝OA，

∴△COG≌△AOH（SAS），

∴CG＝AH，∠AHO＝∠CGO＝135°，

∴∠AHC＝90°，

∴AE＝AH＝CG，

∴，

∵AB、CD是⊙O的两条互相垂直的直径，

∴OC＝OB＝AB，

连接BC，BG，

∴，

∴，

∵∠BCG＝∠BAE，

∴△BCG∽△BAE，

∴∠CGB＝∠AEB＝90°，

∵∠CEB＝45°，

∴△BGE三等腰直角三角形，

∴BE＝EG；

（2）解：作OH⊥OG，交CE于H，连接AH，

∵OG∥AE，

∴∠OGH＝∠AEC＝45°，

∴∠OHG＝45°，

∴OG＝OH，

又∵∠COG＝∠AOH＝90°﹣∠AOG，OC＝OA，

∴△COG≌△AOH（SAS），

∴CG＝AH，∠AHO＝∠CGO＝135°，

∴∠AHC＝90°，

∴AE＝AH＝CG，

∴．