Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4，BD是角平分线，则BC+CD=4．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=BE，再求出△ADE是等腰直角三角形，然后求出AE=DE，最后等量代换可得BC+CD=AB．

解答 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，BD是角平分线，
∴DE=CD，
在Rt△BCD和Rt△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∵BE+AE=AB，
∴BC+CD=AB，
∵AB=4，
∴BC+CD=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．