Question

6．如图，⊙O的半径是3，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF．若OG﹦1，则EF为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连结OC，构建直角三角形：在Rt△OCG中，利用勾股定理可和垂径定理得到AE=BE，BF=CF，则EF为△BAC的中位线，然后根据三角形中位线性质得到EF=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：如图，连结OC，
∵OG⊥AC，
∴CG=AG，
在Rt△OCG中，CG=$\sqrt{O{C}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AC=2CG=4$\sqrt{2}$，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE=BE，BF=CF，
∴EF为△BAC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和三角形中位线性质．