Question

【题目】若边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，记旋转角为a．

（I）如图1，当a＝60°时，求点C经过的弧的长度和线段AC扫过的扇形面积；

（Ⅱ）如图2，当a＝45°时，BC与D′C′的交点为E，求线段D′E的长度；

（Ⅲ）如图3，在旋转过程中，若F为线段CB′的中点，求线段DF长度的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）12π；（Ⅱ）D′E＝6﹣6；（Ⅲ）3﹣3≤DF≤3+3．

【解析】

（Ⅰ）根据正方形的性质得到AD＝CD＝6，∠D＝90°，由勾股定理得到AC＝6，根据弧长的计算公式和扇形的面积公式即可得到结论；

（Ⅱ）连接BC′，根据题意得到B在对角线AC′上，根据勾股定理得到AC′＝＝6，求得BC′＝6﹣6，推出△BC′E是等腰直角三角形，得到C′E＝BC′＝12﹣6，于是得到结论；

（Ⅲ）如图3，连接DB，AC相交于点O，则O是DB的中点，根据三角形中位线定理得到FO＝AB′＝3，推出F在以O为圆心，3为半径的圆上运动，于是得到结论．

解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，

∴AC＝6，

∵边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，

∴∠CAC′＝60°，

∴的长度＝＝2π，线段AC扫过的扇形面积＝＝12π；

（Ⅱ）解：如图2，连接BC′，

∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，

∴B在对角线AC′上，

∵B′C′＝AB′＝6，

在Rt△AB′C′中，AC′＝＝6，

∴BC′＝6﹣6，

∵∠C′BE＝180°﹣∠ABC＝90°，∠BC′E＝90°﹣45°＝45°，

∴△BC′E是等腰直角三角形，

∴C′E＝BC′＝12﹣6，

∴D′E＝C′D′﹣EC′＝6﹣（12﹣6）＝6﹣6；

（Ⅲ）如图3，连接DB，AC相交于点O，

则O是DB的中点，

∵F为线段BC′的中点，

∴FO＝AB′＝3，

∴F在以O为圆心，3为半径的圆上运动，

∵DO＝3，

∴DF最大值为3+3，DF的最小值为3﹣3，

∴DF长的取值范围为3﹣3≤DF≤3+3．