Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的

对于图形和图形，若图形和图形分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形和图形是“中心轴对称”的。

特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的。

（1）如图1，在正方形ABCD中，点，点，

①下列四个点，，，中，与点A是“中心轴对称”的是________；

②点E在射线OB上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标的取值范围;

（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为，，，,一次函数图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）①P1，P4；②≤xE≤；（2）2≤b≤2+2或-2-2≤b≤-2．

【解析】

（1）①根据画出图形，根据“中心轴对称”的定义即可判断．

②以O为圆心，OA为半径画弧交射线OB于E，以O为圆心，OC为半径画弧交射线OB于F．求出点E，点F的坐标即可判断．

（2）如图3中，设GK交x轴于P．求出两种特殊位置的b的值即可判断：当一次函数y=x+b经过点G（-2，2）时，2=-2+b，b=2+2，当一次函数y=x+b经过点P（-2，0）时，0=-2+b，b=2，观察图象结合图形W1和图形W2是“中心轴对称”的定义可知，当2≤b≤2+2时，线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的．再根据对称性，求出直线与y轴的负半轴相交时b的范围即可．

解：（1）如图1中，

①∵OA=1，OP1=1，OP4=1，

∴P1，P4与点A是“中心轴对称”的，

故答案为P1，P4．

②如图2中，

以O为圆心，OA为半径画弧交射线OB于E，以O为圆心，OC为半径画弧交射线OB于F．

∵在正方形ABCD中，点A(1，0)，点C(2，1)，

∴点B（1,1），

∵点E在射线OB上，

∴设点E的坐标是（x，y），

则x=y，

即点E坐标是（x，x），

∵点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，

∴当点E与点A对称时，则OE=OA=1，

过点E作EH⊥x轴于点H，则OH2+EH2=OE2，

∴x2+x2=12，

解得x=，

∴点E的横坐标xE=，

同理可求点：F（，），

∵E（，），F（，），

∴观察图象可知满足条件的点E的横坐标xE的取值范围：≤xE≤．

（2）如图3中，设GK交x轴于P．

当一次函数y=x+b经过点G（-2，2）时，2=-2+b，b=2+2，

当一次函数y=x+b经过点P（-2，0）时，0=-2+b，b=2，

观察图象结合图形W1和图形W2是“中心轴对称”的定义可知，当2≤b≤2+2时，线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的．

根据对称性可知：当-2-2≤b≤-2时，线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的．

综上所述，满足条件的b的取值范围：2≤b≤2+2或-2-2≤b≤-2．