【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AB于点F,交AC的延长线于点E.
(1)判断EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AF=6,sinE= ,求BF的长.
【答案】
(1)解:EF与⊙O相切,理由是:
连接OD、AD,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∵AB=AC,
∴BD=DC,
∵OA=OC,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AB,
∵EF⊥AB,
∴OD⊥EF,
∴EF与⊙O相切
(2)解:∵OD∥AB,
∴△EOD∽△EAF,
∴ ,
Rt△AEF中,sinE= = ,
∵AF=6,
∴ ,
∴AE=10,
设OD=x,则OA=OD=x,
∴ ,
x= ,
∴OA= ,
∴AC=2OA= ,
∴AB=AC= ,
∴BF=AB﹣AF= ﹣6=
【解析】(1)EF与⊙O相切,先根据等腰三角形三线合一得:BD是高线也是中线,由此得OD是△ABC的中位线,所以OD∥AB,所以OD⊥EF,则EF与⊙O相切;(2)设圆的半径为x,根据△EOD∽△EAF,列比例式求x的值,则直径AC= ,则AB= ,由此可得结论.
【考点精析】利用等腰三角形的性质和直线与圆的三种位置关系对题目进行判断即可得到答案,需要熟知等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);直线与圆有三种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.
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【题目】如图,△ABC中,D、E是BC边上的点,BD:DE:EC=3:2:1,M在AC边上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,则BH:HG:GM等于( )
A.3:2:1
B.5:3:1
C.25:12:5
D.51:24:10
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【题目】如图,点B在线段AC上,点E在线段BD上,∠ABD=∠DBC=90°,AB=DB,EB=CB,M,N分别是AE,CD的中点.
(1)求证:△ABM≌△DBN;
(2)试探索BM和BN的关系,并证明你的结论.
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【题目】某销售公司为了提高员工的工作积极性,对员工的工资结构进行改革,改革后月工资由基本保障工资与计件奖励工资组成.(计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数)下表是甲、乙两位职工今年三月份的工资情况信息:
职工 | 甲 | 乙 |
月销售件数(件) | 100 | 80 |
月工资(元) | 4500 | 4100 |
求员工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元?
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【题目】如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何?( )
A. 115 B. 120 C. 125 D. 130
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【题目】1949年9月27日,全国政协第一届全体会议上通过的《关于中华人民共和国国都、纪年、国歌、国徽、国旗的决议》中,第四点规定:“中华人民共和国的国旗为红底五星旗(如图1),象征中国革命人民大团结.长宽比例为3:2,左上方缀黄色五角星五颗,四颗小星环拱在一颗大星的右面,并各有一个角尖正对大星的中心点.”
第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日﹣21日在巴西的里约热内卢举行.在此次的奥运颁奖舞台上出了尴尬情况,多名细心网友指出,射击和游泳颁奖仪式中,冉冉升起的五星红旗被搞错了(如图2).
请你先阅读五星红旗制作的相关规定,再仔细观察图①和图②中的国旗,用所学到的图形知识和语言解释错误的原因.
错误的原因是:_____.
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【题目】定义:如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“匀称三角形”.若Rt△ABC为匀称三角形,且∠C=90°,AC=4,则BC= .
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【题目】如图,已知点E、F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.
(1)求证:CE∥GF;
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由;
(3)若∠EHF=80°,∠D=30°,求∠AEM的度数.
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【题目】已知:BOA是一条公路,河流OP恰好经过桥O平分∠AOB.
(1)如果要从P处移动到公路上路径最短,除图中所示PM外,还可以选择PN,求作这条路径,两条路径的关系是______,理由是___________.
(2)河流下游处有一点Q,如果要从P点出发,到达公路OA上的点C后再前往点Q,请你画出一条最短路径,表明点C的位置.
(3)D点在公路OB上,O点到D点的距离与C点相等,作出△CDP,求证:△CDP为等腰三角形.
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