Question

15．已知⊙I为△ABC的内切圆，点D，E，F是切点，连接BI，CI，DE，DF，试猜想∠BIC与∠FDE有何数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 根据圆I是△ABC的内切圆求出∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），根据三角形的内角和求得∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°+$\frac{1}{2}∠$A，连接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EIF=90°-$\frac{1}{2}∠$A，即可求出答案．

解答 解：∵圆I是△ABC的内切圆，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°+$\frac{1}{2}∠$A，
连接IF、IE，
∵圆I是△ABC的内切圆，
∴∠IFA=∠IEA=90°，
∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=180°-∠A，
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EIF=90°-$\frac{1}{2}∠$A，
∴∠BIC+∠FDE=90°+$\frac{1}{2}∠$A+90°-$\frac{1}{2}∠$A=180°．

点评 本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．