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【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,边OA的长度为8,对角线AC=10,抛物线y=x2+bx+c经过点AC,与AB交于点D

1)求抛物线的函数解析式;

2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=mCPQ的面积为S

①求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值;

②在S最大的情况下,在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上,若存在点F,使DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x+x+8 (2)①m=5②F18),F24), (,6+) (,6-)

【解析】分析:(1)先根据勾股定理求出OC长度,进而确定点C坐标;将A、C两点坐标代入抛物线y=x2+bx+c,即可求得抛物线的解析式;
(2)①先用m表示出QE的长度,进而求出三角形的面积S关于m的函数;
②分类讨论,写出满足条件的F点的坐标即可,注意不要漏写.

详解:1)在矩形OABC中,∠AOC=90°

由勾股定理可得,OC=C60),

A08)、C60)两点坐标代入抛物线,得

解得,

∴抛物线的解析式为

2)如图:①过点QQEBCE点,则sin

QE=10m),

∴S=

∵S=

∴当m=5时,S取最大值;

②在抛物线对称轴l上存在点F,使FDQ为直角三角形,

∵抛物线的对称轴为x=

D的坐标为(38),Q34),

当∠FDQ=90°时,F18),

当∠FQD=90°时,则F24),

当∠DFQ=90°时,设Fn),

FD2+FQ2=DQ2

解得,n=

∴F3 F4

综上所述,满足条件的点F共有四个,坐标分别为F18),F24),F3 ,F4

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C. 16 cm2

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