Question

电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小学生的喜爱，小刚想知道大家最喜欢哪位“兄弟”，于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽查（2014•扬州）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．

（1）求证：DE∥BC；

（2）若AF=CE，求线段BC的长度．

Answer 1

【考点】切线的性质；弧长的计算．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）要证明DE∥BC，可证明∠EDA=∠B，由弧DE的长度为4π，可以求得∠DOE的度数，再根据切线的性质可求得∠EDA的度数，即可证明结论．

（2）根据90°的圆周角对的弦是直径，可以求得EF，的长度，借用勾股定理求得AE与CF的长度，即可得到答案．

【解答】解：（1）证明：连接OD、OE，

∵AD是⊙O的切线，

∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，

又∵弧DE的长度为4π，

∴，

∴n=60，

∴△ODE是等边三角形，

∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，

∴∠B=∠EDA，

∴DE∥BC．

（2）连接FD，

∵DE∥BC，

∴∠DEF=∠C=90°，

∴FD是⊙0的直径，

由（1）得：∠EFD=∠EOD=30°，FD=24，

∴EF=，

又∵∠EDA=30°，DE=12，

∴AE=，

又∵AF=CE，∴AE=CF，

∴CA=AE+EF+CF=20，

又∵，

∴BC=60．

【点评】本题考查了勾股定理以及圆的性质的综合应用，解答本题的关键在于90°的圆周角对的弦是直径这一性质的灵活运用．