【题目】如图,在中,,于点,为的中点,交于点
(1)当时,求的值;
(2)当时,求的值;(,问要写出解答过程)
(3)当时,求的值.(直接写出结果)
【答案】(1)=1;(2);(3)
【解析】
(1)由,得到AC=2AB,又因为O为AC中点,推出AB=OC,利用AAS得出△ABF≌△COE,推出AF=CE,即可求出所求式子的比值;
(2)由,得到AB=AC,过A作AG平行于OE,交BC于点G,求出∠OEC=∠AGC,∠AFB=∠OEC,∠BAD=∠C=45°,利用AAS得出△AFB≌△CGA,推出AF=CG,得到E为CG的中点,即CE为CG的一半,即可求出所求式子的比.
(3)过A作AG平行于OE,交BC于点G,证△AFB∽△CGA,推出,再CG=2CE,代入求出即可.
解:由,得到AC=2AB,
又∵O为AC的中点,
∴AC=2OC,
∴AB=OC,
又∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠BAD+∠ABC=90°,∠C+∠ABC=90°,
∴∠BAD=∠C,
又∵∠AFB=∠OBE+∠ADB,∠OEC=∠OBE+∠BOE,且∠ADB=∠BOE=90°,
∴∠AFB=∠OEC,
在△ABF和△COE中,
∴△ABF≌△COE(AAS),
∴AF=CE,
则=1;
(2)过A作AG∥OE交BC于G,可得∠OEC=∠AGC,
由(1)得∠AFB=∠OEC,
∴∠AFB=∠AGC,
又∵,即AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠C=45°,
在△AFB和△CGA中,
∴△AFB≌△CGA(AAS),
∴AF=CG,
(3);
过A作AG平行于OE,交BC于点G,
由(1)(2)可知∠BAD=∠C,∠AFB=∠CGA,
∴△AFB∽△CGA,
∵
∴
又∵CG=2CE,
∴
∴
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【题目】综合与实践
问题情境:
数学课上,老师让同学们拿两张大小相同的正方形纸片做旋转探究活动,并提出数学问题加以解决:如图(1),四边形ABCD和DCGH都是正方形,点M,N分别是DH,CG的中点,将正方形ABCD以点D为中心,逆时针旋转角度α(0<α<90°),得到正方形ABC'D.
解决问题:
下面是兴趣小组提出两个数学问题,请你解决这些问题.
(1)如图(2).当边BC'正好经过点N时.写出线段C'G和DN的位置关系,并证明
(2)如图(3),当点C′正好落在MN上时,求旋转角α的大小.
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【题目】某汽车油箱的容积为升,小王把该车的油箱加满,从县城驾驶汽车到千米外的省城接客人,接到客人后立即按原路返回.请回答下列问题:
(1)油箱加满后,汽车能够行驶的总路程(单位:千米)与平均耗油量(单位:升/千米)之间有怎样的函数关系?
(2)小王驾驶汽车去省城,平均每千米耗油升.返程时由于下雨,小王降低了车速,此时平均耗油量增加了一倍.小王不加油能否驾车回到县城?如果不能,至少还需加多少油才能保证回到县城?
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【题目】某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
售价x(元/千克) | 50 | 60 | 70 |
销售量y(千克) | 100 | 80 | 60 |
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入﹣成本),并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
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【题目】解方程:(1) ; (2).
【答案】(1)x1 =1 ,x2=; (2) x1 =-1,x2= .
【解析】试题分析:
根据两方程的特点,使用“因式分解法”解两方程即可.
试题解析:
(1)原方程可化为: ,
方程左边分解因式得: ,
或,
解得: , .
(2)原方程可化为: ,即,
∴,
∴或,
解得: .
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
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【题目】如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.
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【题目】已知二次函数
(1)当k=3时,求函数图像与x轴的交点坐标;
(2)函数图像的对称轴与原点的距离为3,求k的值
(3)设二次函数图像上的一点P(x,y)满足时,y≤2,求k的取值范围。
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【题目】如图,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABM=2∠BAM.
(1)求证:AG=BG;
(2)若点M为BC的中点,同时S△BMG=1,求三角形ADG的面积.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,点E为BC的中点,AE⊥DE.
(1)求证:△ABE∽△ECD;
(2)求证:AE2=AB·AD;
(3)若AB=1,CD=4,求线段AD,DE的长.
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