【题目】如图,AB是⊙O的直径,△ABC内接于⊙O.点D在⊙O 上,BD平分∠ABC交AC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F.
(1)求证:FD是⊙O的切线;
(2)若BD=8,sin∠DBF=,求DE的长.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
(1)连接OD,根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBF,由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ODB,等量代换得到∠DBF=∠ODB,推出∠ODF=90°,根据切线的判定定理得到结论;
(2)连接AD,根据圆周角定理得到∠ADE=90°,根据角平分线的定义得到∠DBF=∠ABD,解直角三角形得到AD=6,在Rt△ADE中,解直角三角形得到DE=.
(1)连接OD,
∵BD平分∠ABC交AC于点E,
∴∠ABD=∠DBF,
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB,
∴∠DBF=∠ODB,
∵∠DBF+∠BDF=90°,
∴∠ODB+∠BDF=90°,
∴∠ODF=90°,
∴FD是⊙O的切线;
(2)连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∵BD平分∠ABC交AC于点E,
∴∠DBF=∠ABD,
在Rt△ABD中,BD=8,
∵sin∠ABD=sin∠DBF=,
∴AB=10,AD=6,
∵∠DAC=∠DBC,
∴sin∠DAE=sin∠DBC=,
在Rt△ADE中,sin∠DAC=,
设DE=3x,则AE=5x,
∴AD=4x,
∴tan∠DAE=
∴DE=.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,经过点的抛物线上有一动点,且点在直线的下方.
(1)平移直线经过点,得到直线,点为直线上一个动点,连接,当面积最大时,求的最小值.
(2)平移直线经过原点,得到直线,点是直线上一点,且点横坐标为6,点在轴上,点在轴上,当时,抛物线上是否存在点,使四边形是矩形?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直线EF与⊙O相切于点C,点A为⊙O上异于点C的一动点,⊙O的半径为4,ABEF于点B,设ACF=α(0°<α<180°).
(1)若α=,求证:四边形OCBA为正方形;
(2)若AC―AB=1,求AC的长;
(3)当AC―AB取最大值时,求α的度数.
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【题目】如图,点A在∠MON的边ON上,AB⊥OM于B,AE=OB,DE⊥ON于E,AD=AO,DC⊥OM于C.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若DE=3,OE=9,求AB、AD的长.
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【题目】下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果.
投针次数n | 1000 | 2000 | 3000 | 4000 | 5000 | 10000 | 20000 |
针与直线相交的次数m | 454 | 970 | 1430 | 1912 | 2386 | 4769 | 9548 |
针与直线相交的频率p=
| 0.454 | 0.485 | 0.4767 | 0.478 | 0.4772 | 0.4769 | 0.4774 |
下面有三个推断:
①投掷1000次时,针与直线相交的次数是454,针与直线相交的概率是0.454;
②随着实验次数的增加,针与直线相交的频率总在0.477附近,显示出一定的稳定性,可以估计针与直线相交的概率是0.477;
③若再次用计算机模拟此实验,则当投掷次数为10000时,针与直线相交的频率一定是0.4769.
其中合理的推断的序号是:_____.
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【题目】如图,ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分∠BCD交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论:①∠ACD=30°;②SABCD=ACBC;③OE:AC=:6; ④SOEF=SABCD,成立的是_____.
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的平分线分别交AB、BD于点M、N,若AD=4,则线段AM的长为( )
A. 2B. 2C. 4﹣D. 8﹣4
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【题目】如图,在菱形ABCD中,点P是BC边上一动点,连结AP,AP的垂直平分线交BD于点G,交 AP于点E,在P点由B点到C点的运动过程中,∠APG的大小变化情况是( )
A. 变大 B. 先变大后变小 C. 先变小后变大 D. 不变
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【题目】小军自制的匀速直线运动遥控车模型甲、乙两车同时分别从、出发,沿直线轨道同时到达处,已知乙的速度是甲的速度的1.5倍,甲、乙两遥控车与处的距离、(米)与时间(分钟)的函数关系如图所示,则下列结论中:①的距离为120米;②乙的速度为60米/分;③的值为;④若甲、乙两遥控车的距离不少于10米时,两车信号不会产生互相干扰,则两车信号不会产生互相干扰的的取值范围是,其中正确的有( )个
A. 1B. 2C. 3D. 4
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