Question

【题目】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2+px+q=0的两个根．
（1）求实数p、q应满足的条件
（2）若p、q满足（1）的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵sinA、sinB是方程x2+px+q=0的两个根，∴sinA+sinB=﹣p，即：sinA+cosA=﹣p，∴sin（A+45°）=﹣p

∵0°＜A＜90°，∴1＜﹣p≤，∴﹣≤p＜﹣1，∵sinAsinB=q，即sinAcosA=q，∴sin2A=2q，∴0＜q＜，

∵sin2A+sinB2=（sinA+sinB）2﹣2sinAsinB，∴p2﹣2q=1，

∴实数p、q应满足的条件是：p2﹣2q=1，∴﹣≤p＜﹣1，0＜q≤．

（2）

解：∵0＜q≤，设sin2A=2q，则2A=2a，或180°﹣2a，即：A=a或90°﹣a，

∵sina和sin（90°﹣a）是方程的两根，即它们是直角三角形的两个锐角的正弦值．

【解析】（1）根据sinA+cosA=sin（A+45°），sinAcosA=sin2A，以及根与系数的关系，即可得到关于p，q的不等式，以及sin2A+sinB2=1，即可求得p，q的关系．
（2）根据（1）可以得到sin2A=2q，求得A的值，证明A的值可以取互余的两个角的度数，即可证得．
【考点精析】认真审题，首先需要了解锐角三角函数的增减性(当角度在0°~90°之间变化时：（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）)．