Question

6．已知：△ABC中，AD是BC边中线，E是AB上一点，CE交直线AD于F，若CF=AB，求证：AE=EF．

Answer 1

分析 作DH∥CE交AB于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由DH∥CE得$\frac{BH}{BE}$=$\frac{DH}{CE}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，则BH=$\frac{1}{2}$BE，DH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$（CF+EF），再由EF∥DH得到$\frac{EF}{DH}$=$\frac{AE}{AH}$，利用等线段代换得到$\frac{EF}{CF+EF}$=$\frac{AE}{AB+AE}$，而CF=AB，于是利用比例的性质易得AE=EF．

解答 证明：作DH∥CE交AB于H，如图，
∵DH∥CE，
∴$\frac{BH}{BE}$=$\frac{DH}{CE}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BH=$\frac{1}{2}$BE，DH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$（CF+EF），
∵EF∥DH，
∴$\frac{EF}{DH}$=$\frac{AE}{AH}$，
∴$\frac{EF}{\frac{1}{2}（CF+EF）}$=$\frac{AE}{AB-BH}$=$\frac{AE}{AB-\frac{1}{2}BE}$=$\frac{AE}{AB-\frac{1}{2}（AB-AE）}$=$\frac{AE}{\frac{1}{2}（AB+AE）}$，
∵CF=AB，
∴$\frac{EF}{AB+EF}$=$\frac{AE}{AB+AE}$，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=EF．

点评 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．