Question

15．（1）如图1，已知BO、CO是△ABC的角平分线，BD与CD相交于点O，求证：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A
（2）如图2，CO是△ABC的外角∠ACE的平分线，BO是△ABC的平分线，BO与CO相交于点O，那么（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试探索∠O与∠A之间的数量关系，并证明你的结论

Answer 1

分析 （1）如图1，根据角平分线的定义得到∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，在根据三角形内角和定理得∠BOC=180°-∠1-∠2，则∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°-∠A，所以∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）根据角平分线的定义得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACE，再利用三角形外角性质得∠2=∠1+∠O，∠ACE=∠ABC+∠A，由于$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠0，则∠A=2∠O，即∠O=$\frac{1}{2}$∠A．

解答 （1）证明：如图1，
∵BO、CO是△ABC的角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BOC=180°-∠1-∠2，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）解：∠O=$\frac{1}{2}$∠A．理由如下：
如图2，∵BO是△ABC的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵CO是∠ACE的平分线，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∵∠2=∠1+∠O，
∴$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠0，
即∠ACE=∠ABC+2∠0，
∵∠ACE=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠O，
即∠O=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．利用三角形内角和可直接根据两已知角求第三个角或依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角，也可在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．也考查了三角形外角性质．