Question

20．如图．点A、B、C、D是平面内四个点．连接AB、AC、BD、CD．
（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧．先画出图形．再猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系．并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连结AD并延长，如图1，根据三角形外角性质得∠2=∠1+∠B，∠4=∠3+∠C，然后把两式相加即可得到结论；
（2）如图2，连结BC，根据三角形内角和定理得到∠1+∠2+∠A=180°，∠3+∠4+∠D=180°，然后把两式相加即可得∠BDC+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．

解答 （1）证明：连结AD并延长，如图1，

∵∠2=∠1+∠B，∠4=∠3+∠C，
∴∠2+∠4=∠1+∠B+∠3+∠C，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）解：∠BDC+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．理由如下：
如图2，连结BC，

∵∠1+∠2+∠A=180°，∠3+∠4+∠D=180°，
∴∠1+∠2+∠A+∠3+∠4+∠D=360°，
∴∠BDC+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．利用三角形内角和可直接根据两已知角求第三个角或依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角，也可在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．也考查了三角形外角性质．