Question

1．关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+（m²+2）=0的两个实数根分别是x₁、x₂，且x₁²+x₂²=13，则（x₁-x₂）²的值是（　　）

• A． -1
• B． -2
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 根据根的判别式的意义得到m≥$\frac{7}{4}$，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²+2，由x₁²+x₂²=13可得（2m+1）²-2（m²+2）=13，解得m₁=2，m₂=-4，由于m≥$\frac{7}{4}$，所以m=2，则x₁+x₂=5，x₁x₂=6，然后根据完全平方公式得到（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，再利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得△=（2m+1）²-4（m²+2）≥0，解得m≥$\frac{7}{4}$，
x₁+x₂=2m+1，x₁x₂=m²+2，
∵x₁²+x₂²=13，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=13，
∴（2m+1）²-2（m²+2）=13，
整理得m²+2m-8=0，解得m₁=2，m₂=-4，
而m≥$\frac{7}{4}$，
∴m=2，
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=6，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=5²-4×6=1．
故选C．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．