Question

17．如图，BE，CE分别是△ABC的两条外角平分线，且交于点E，∠A=80°，
（1）∠E的度数是多少？
（2）若∠ABC=35°，求四边形ABEC的各内角度数．

Answer 1

分析 （1）由BE、CE是两外角的平分线，得到∠2=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠4=$\frac{1}{2}$∠BCF，根据三角形的外角的性质和三角形的内角和得到∠E+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=180°，于是得到∠E+$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．即可得到结论；
（2）由∠ABC=35°，根据邻补角的定义得到∠DBC=180°-∠ABC=145°，由BE平分∠DBC，得到∠2=$\frac{145°}{2}$，于是得到∠ABE=$\frac{215°}{2}$，然后根据四边形的内角和得到结果．

解答 解：（1）∵BE、CE是两外角的平分线，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠4=$\frac{1}{2}$∠BCF，
而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠4=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4=180°，
∴∠E+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=180°，
即∠E+$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠E+$\frac{1}{2}$∠A=90°，
∴∠E=90°-$\frac{1}{2}$∠A=50°；

（2）∵∠ABC=35°，
∴∠DBC=180°-∠ABC=145°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠2=$\frac{145°}{2}$，
∴∠ABE=$\frac{215°}{2}$，
∴∠ACE=360°-∠A-∠E-∠ABE=$\frac{245°}{2}$．
∴四边形ABEC的各内角度数为：80°，$\frac{215°}{2}$，50°$\frac{245°}{2}$．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．