Question

如图，直线L：y=-x+3与两坐标轴分别相交于点A、B．
（1）当反比例函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L总有公共点时，求k的取值范围．
（2）若反比例函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）在第一象限内与直线L相交于点C、D，当CD=2

2

时，求k的值．
（3）在（2）的条件下，请你直接写出关于x的不等式-x+3＜

k

x

的解集．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据反比例函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L总有公共点，得判别式大于或等于0，可得答案；
（2）根据韦达定理，可得方程两根的关系，根据两点间距离公式，可得答案；
（3）反比例函数图象落在直线上方的部分对应的x的取值范围，即为所求．

解答：解：（1）当反比例函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L总有公共点时，得-x+3=

k

x

，
整理得：x²-3x+k=0，
△=（-3）²-4k≥0，
解得k≤

9

4

．
即k的取值范围为：0＜k≤

9

4

；

（2）∵x²-3x+k=0，
设该方程的两根是x₁、x₂．
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=k，
∵CD=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=2

2

，
∴2[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]=8，
即 2（9-4k）=8，
解得 k=

5

4

；

（3）当k=

5

4

时，x²-3x+k=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=

5

2

，
由反比例函数图象在直线上方的区域得0＜x＜

1

2

或x＞

5

2

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，两点间的距离公式，一次函数与不等式的关系．