【题目】如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F连接AE、DE、DF.
(1)证明:∠E=∠C;
(2)若∠E=58°,求∠BDF的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠BDF=116°.
【解析】
(1)连接AD,已知AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角即可得∠ADB=90°,即AD⊥BC;由CD=BD可得AD垂直平分BC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC,所以∠B=∠C;根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠E,由此即可证得∠E=∠C;(2)已知四边形AEDF是⊙O的内接四边形,根据圆内接四边形对角互补可得∠AFD=180°﹣∠E,由邻补角的定义可得∠CFD=180°﹣∠AFD,从而求得∠CFD=∠E=58°,再由∠BDF=∠C+∠CFD即可求得∠BDF的度数.
(1)连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵CD=BD,
∴AD垂直平分BC,
∴AB=AC,
∴∠B=∠C,
又∵∠B=∠E,
∴∠E=∠C;
(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形,
∴∠AFD=180°﹣∠E,
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD,
∴∠CFD=∠E=58°,
又∵∠E=∠C=58°,
∴∠BDF=∠C+∠CFD=116°.
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【题目】如图①是一个长为,宽为的长方形,沿虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中阴影部分的正方形的边长为
(2)观察图②,三个代数式之间的数量关系式是 .
(3)观察图③,写出一个代数恒等式: .
(4)在下面的虚线框中画出一个几何图形,使它的面积能表示成
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【题目】如图,△ABC中,AC=BC,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点E,F.点D为AB边的中点,点M为EF上一动点,若AB=4,△ABC的面积是16,则△ADM周长的最小值为( )
A.20B.16C.12D.10
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【题目】有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为8,则正八边形ABCDEFGH的面积为( )
A. 32 B. 40 C. 24 D. 30
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【题目】如图,已知直线y=与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,2)为圆心,2为半径的圆上一动点,连结PA、PB.则△PAB面积的最小值是_____.
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【题目】阅读下面材料并解答问题
材料:将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解:由分母为,可设,
则
∵对任意上述等式均成立,
∴且,∴,
∴
这样,分式被拆分成了一个整式与一个分式的和
解答:(1)将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式
(2)求出的最小值.
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【题目】在中,,,是的两条角平分线,且,交于点.
(1)如图1,用等式表示,,这三条线段之间的数量关系,并证明你的结论;
小东通过观察、实验,提出猜想:.他发现先在上截取,使,连接,再利用三角形全等的判定和性质证明即可.
①下面是小东证明该猜想的部分思路,请补充完整:
ⅰ)在上截取,使,连接,则可以证明与 全等,判定它们全等的依据是 ;
ⅱ)由,,是的两条角平分线,可以得出 °;
②请直接利用ⅰ),ⅱ)已得到的结论,完成证明猜想的过程.
(2)如图2,若 ,求证:.
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【题目】我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象,其中BC段是双曲线的一部分.请根据图中信息解答下列问题:
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?
(2)求k的值;
(3)当x=16时,大棚内的温度约为多少度?
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