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【题目】如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F连接AE、DE、DF.

(1)证明:∠E=C;

(2)若∠E=58°,求∠BDF的度数.

【答案】(1)证明见解析;(2)BDF=116°.

【解析】

(1)连接AD,已知AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角即可得∠ADB=90°,即ADBC;由CD=BD可得AD垂直平分BC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC,所以∠B=C;根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=E,由此即可证得∠E=C;(2)已知四边形AEDF是⊙O的内接四边形,根据圆内接四边形对角互补可得∠AFD=180°﹣E,由邻补角的定义可得∠CFD=180°﹣AFD,从而求得∠CFD=E=58°,再由∠BDF=∠C+∠CFD即可求得∠BDF的度数.

(1)连接AD,

AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,即ADBC,

CD=BD,

AD垂直平分BC,

AB=AC,

∴∠B=C,

又∵∠B=E,

∴∠E=C;

(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形,

∴∠AFD=180°﹣E,

又∵∠CFD=180°﹣AFD,

∴∠CFD=E=58°,

又∵∠E=C=58°,

∴∠BDF=C+CFD=116°.

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