Question

如图，在△ABC中，AC=BC，以腰AC、BC为边向外作等边△ACD和△BCE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．求证：
（1）△ABD≌△BAE；
（2）CG是线段AB的垂直平分线．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形和等边三角形的性质，证明AD=BE，∠DAB=∠CBA，由AB=AB，证明△ABD≌△BAE；
（2）先证明点F在AB的垂直平分线上，再证明点C在AB的垂直平分线上，从而证明CG是线段AB的垂直平分线．

解答：证明：（1）∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠DAC=∠CBE=60°，AD=AC，BE=AC，
∴AD=BE，
∴∠CAB+∠DAC=∠CBA+∠CBE，
即：∠DAB=∠CBA，
在△ABD和△BAE中，

AD=BE ∠DAB=∠EBA AB=AB

，
∴△ABD≌△BAE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△BAE，
∴∠EAB=∠DBA，
∴点F在AB的垂直平分线上，
又∵CA=CB，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∴CF是线段AB的垂直平分线，
即CG是线段AB的垂直平分线．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰或等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质和判定，解题的关键是结合图形寻找证明三角形全等的条件，另外证明直线是线段的垂直平分线，必须证明直线上的两个点都在线段的垂直平分线上．