Question

7．如图，正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后变成菱形A′B′C′D′，△AEF（E，F是小正方形的顶点）同时形变为△A′E′F．设这个菱形的“形变度”为k，对于△AEF与△A′E′F′的面积之比你有何猜想，当△AEF与△△A′E′F′的面积之比等于2：$\sqrt{3}$时，求A′C′的长．

Answer 1

分析 先求出△AEF的面积，再根据面积关系求出∠A′B′C′=60°，证明△A′B′C′是等边三角形，得出A′C′=A′B′=4．

解答 解：如图所示：

S_△AEF=S_△AGF+S_△GEF=$\frac{1}{2}$GE•AB=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
△AEF变成菱形A′B′C′D′时的△A′E′F′的面积，G′E′的长度没有变化，
A′到B′C′的距离变小了，A′B′的长度也没有变化，
而A′到B′C′的距离的大小取决于∠A′B′C′，
设∠A′B′C′=α，
过点A′作A′H′⊥B′C′，垂足为H′，

则A′H′=A′B′sinα=4sinα，
∴S_{△A′E′F′}=$\frac{1}{2}$G′E′•A′H′=$\frac{1}{2}$×2×4sinα，
∴S_△AEF：S_{△A′E′F′}=4：4sinα=2：$\sqrt{3}$，sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴α=60°，
又∵A′B′=B′C′，
∴△A′B′C′是等边三角形，
∴A′C′=A′B′=4．

点评 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；根据面积关系求出∠A′B′C′，证明等边三角形是解决问题的关键．