Question

【题目】在平面直角坐标系中，点 A（a，6），B（4，b），

（1）若 a，b 满足 (a b 5)2 0 ，

①求点 A，B 的坐标；

②点 D 在第一象限，且点 D 在直线 AB 上，作 DC⊥x 轴于点 C，延长 DC 到 P 使 得 PC=DC，若△PAB 的面积为 10，求 P 点的坐标；

（2）如图，将线段 AB 平移到 CD，且点 C 在 x 轴负半轴上，点 D 在 y 轴负半轴上， 连接 AC 交 y 轴于点 E，连接 BD 交 x 轴于点 F，点 M 在 DC 延长线上，连 EM，3∠MEC+∠CEO=180°，点 N 在 AB 延长线上，点 G 在 OF 延长线上，∠NFG= 2∠NFB，请探究∠EMC 和∠BNF 的数量关系，给出结论并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①A（2，6），B（4，3）．②P（，-5）．（2）∠BNF-∠EMC=30°，理由见解析.

【解析】

（1）①利用非负数的性质构建方程组解决问题即可．

②由题意AB的解析式为y=-x+9，设D（m，-m+9），利用三角形的面积，构建方程解决问题即可．

（2）结论：∠BNF-∠EMC=30°．设∠MEC=α，∠BFN=β，首先证明α-β=30°，再利用平行四边形的性质，三角形的外角的性质解决问题即可．

（1）①∵（a+b-5）2+|2a-b-1|=0，

又∵（a+b-5）2≥0，|2a-b-1|≥0，

∴，

∴，

∴A（2，6），B（4，3）．

②如图1中，

∵A（2，6），B（4，3），

∴直线AB的解析式为y=-x+9，设D（m，-m+9），

∵CD=PC，

∴PD=-3m+18，

∵S△PAB=10，

∴×PD×2=10，

∴-3m+18=10，

∴m=，

∴D（，5），

∴P（，-5）．

（2）结论：∠BNF-∠EMC=30°．

理由：设∠MEC=α，∠BFN=β，

∵3∠MEC+∠CEO=180°，∠AEO+∠CEO=180°，

∴∠AEO=3α，

∵∠NFG=2∠BFN，

∴∠NFG=2β，∠OFD=∠BFG=3β，

∵AB=CD，AB∥CD，

∴四边形ABDC是平行四边形，

∴AC∥BD，∠ACD=∠ABD，

∴∠BDE=180°-∠AEO=180°-3α，

∵∠BDE+∠OFD=90°，

∴180°-3α+3β=90°，

∴α-β=30°，

∵∠ACD=∠EMC+∠MEC，∠ABD=∠BFN+∠BNF，

∴∠EMC+α=∠BNF+β，

∴∠BNF-∠EMC=α-β=30°．