Question

9．如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先求得AB，得出OC，求得点C的坐标；
（2）利用待定系数法求的函数解析式，进一步利用顶点坐标公式求得最值即可．

解答 解：（1）∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AO=1，OB=3，即AB=AO+OB=1+3=4．
∴OC=4，即点C的坐标为（0，4）．
（2）设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，把A、C、B三点的坐标分别代入上式，
得$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=4\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{4}{3}$，b=$\frac{8}{3}$x，c=4，
∴所求的二次函数解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4．
∵点A、B的坐标分别为点A（-1，0）、B（3，0），
∴线段AB的中点坐标为（1，0），即抛物线的对称轴为直线x=1．
∵a=-$\frac{4}{3}$＜0，
∴当x=1时，y有最大值y=-$\frac{4}{3}$+$\frac{8}{3}$+4=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，求得三点的坐标，掌握待定系数法的方法与步骤是解决问题的关键．