Question

如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC．垂足为E，连结DE，F为线段DE上的一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：AD•EC=DF•DE；
（2）AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠DAF=∠EDC，∠ADF=∠CED，进而得到△ADF∽△DEC，列出比例式化为等积式，即可解决问题．
（2）求出DE的长度；运用△ADF∽△DEC，列出比例式，即可解决问题．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B，AD∥BC；而∠AFE=∠B，
∴∠ADF=∠CED，∠AFE=∠ADC；
∵∠AFE=∠FAD+∠ADF，∠ADC=∠ADF+∠EDC，
∴∠DAF=∠EDC，而∠ADF=∠CED，
∴△ADF∽△DEC，
∴AD：DE=DF：EC，
∴AD•EC=DE•DF．
（2）∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
由勾股定理得：DE²=AD²+AE²，
而AD=3

3

，AE=3，
∴DE=6；
∵△ADF∽△DEC，
∴AD：DE=AF：DC，而DC=AB=4，
∴AF=2

3

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．