Question

（1）如图①，线段AB、CD交于点O，OA=OD、OB=OC、∠AOD=∠BOC=90°，取一点P，使得PB=PD，PA=PC，试猜想，∠DPA+∠BPC的度数；
（2）如图②，若∠AOD=α°，其他条件不变，猜想∠DPA+∠BPC的度数，并证明此结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证△ABP≌△CDP，可得∠PBA=∠PDC和∠PAB=∠PCD，根据三角形内角和为180°即可求得∠DPA+∠BPC=∠AOD+∠BOC，即可解题；
（2）易证△ABP≌△CDP，可得∠PBA=∠PDC和∠PAB=∠PCD，根据三角形内角和为180°即可求得∠DPA+∠BPC=∠AOD+∠BOC，即可解题．

解答：解：（1）∵OA=OD、OB=OC，
∴AB=CD，
∵在△ABP和△CDP中，

AB=CD PB=PD PA=PC

，
∴△ABP≌△CDP，（SSS）
∴∠PBA=∠PDC，∠PAB=∠PCD，
∵∠DPA+∠BPC=（180°-∠PBC-∠PCB）+（180°-∠PAD-∠PDA）
=360°-（∠OBC-∠OBP）-（∠OCB-∠PCB）-（∠ODA+∠PDO）-（∠OAD+∠PAO）
=360°-∠OBC-∠OCB-∠OAD-∠ODA
=∠AOD+∠BOC，
∵∠AOD=∠BOC=90°，
∴∠DPA+∠BPC=180°；

（2）∵OA=OD、OB=OC，
∴AB=CD，
∵在△ABP和△CDP中，

AB=CD PB=PD PA=PC

，
∴△ABP≌△CDP，（SSS）
∴∠PBA=∠PDC，∠PAB=∠PCD，
∵∠DPA+∠BPC=（180°-∠PBC-∠PCB）+（180°-∠PAD-∠PDA）
=360°-（∠OBC-∠OBP）-（∠OCB-∠PCB）-（∠ODA+∠PDO）-（∠OAD+∠PAO）
=360°-∠OBC-∠OCB-∠OAD-∠ODA
=∠AOD+∠BOC，
∵∠AOD=∠BOC=α，
∴∠DPA+∠BPC=2α．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABP≌△CDP是解题的关键．