Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，D，E分别为AB，BC上一点，∠CDE＝∠A．

（1）如图1，若BC＝BD，∠ACB＝90°，则∠DEC度数为_________°；

（2）如图2，若BC＝BD，求证：CD＝DE；

（3）如图3，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD＝BD，EH＝1，求DE－BE的值．

Answer 1

【答案】（1）67.5;（2）证明见解析；（3）DE－BE=2．

【解析】

（1）先根据等腰三角形的性质，得出∠A=∠B=45°=∠CDE，再根据BC=BD，可得出∠BDC的度数，然后可得出∠BDE的度数，最后根据三角形外角的性质可得出∠DEC的度数；

（2）先根据条件得出∠ACD=∠BDE，BD=AC，再根据ASA判定△ADC≌△BED，即可得到CD=DE；
（3）先根据条件得出∠DCB=∠CDE，进而得到CE=DE，再在DE上取点F，使得FD=BE，进而判定△CDF≌△DBE（SAS），得出CF=DE=CE，再根据CH⊥EF，运用三线合一即可得到FH=HE，最后得出CE-BE=DE-DF=EF=2HE，即可得出结论．

（1）解：∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°=∠CDE，

又BC=BD，

∴∠BDC=∠BCD=(180°-∠B)=67.5°，

∴∠BDE=∠BDC-∠CDE=67.5°-45°=22.5°，

∴∠DEC=∠B+∠BDE=67.5°；

故答案为：67.5；

（2）证明：∵AC=BC，∠CDE=∠A，
∴∠A=∠B=∠CDE，
∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，
∴∠ACD=∠BDE，
又∵BC=BD，
∴BD=AC，
在△ADC和△BED中，

，

∴△ADC≌△BED（ASA），
∴CD=DE；

（3）解：∵CD=BD，
∴∠B=∠DCB，
由（2）知：∠CDE=∠B，
∴∠DCB=∠CDE，
∴CE=DE，
如图，在DE上取点F，使得FD=BE，

在△CDF和△DBE中，

，

∴△CDF≌△DBE（SAS），
∴CF=DE=CE，
又∵CH⊥EF，
∴FH=HE，

∴DE－BE=DE－DF=EF=2HE=2．