Question

【题目】阅读下面材料，完成(1)-(3)题．

数学课上，老师出示了这样一道题：

如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．

同学们经过思考后，交流了自已的想法：

小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”

小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”

小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”

......

老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”

（1）求∠DFC的度数；

（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；

（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．

【解析】

（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；

（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；

（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．

解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，

又△ABE为等边三角形，

∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，

在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，

∴α＋β＝60°，

∴∠DFC=α＋β＝60°；

（2）EF=AF+FC，证明如下：

∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，

∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，

∴CF＝2DF，

在EC上截取EG＝CF，连接AG，

又AE=AC，

∴∠AEG=∠ACF，

∴△AEG≌△ACF（SAS）,

∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，

又∠CAF=∠BAD，

∴∠EAG=∠BAD，

∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，

∴△AFG为等边三角形，

∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，

即EF=AF+FC；

（3）补全图形如图所示，

结论：AF=EF+2DF．证明如下：

同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，

∴∠CAE＝180°－2β，

∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，

∴∠AFC=β－α＝60°，

又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，

∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，

在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，

又AB=BE，

∴△ABG≌△EBF（SAS），

∴BG＝BF，

又AF垂直平分BC，

∴BF=CF，

∴∠BFA=∠AFC=60°，

∴△BFG为等边三角形，

∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，

∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．