Question

【题目】如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点．在边上取点使，作交于点，交于点．

（1）请你利用该图解释平方差公式：．

（2）现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连接．若点在同一直线上，求的值？

（3）记的面积为，图中四边形的面积为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3；（3）

【解析】

（1）分别利用a和b表示出S矩形ADLM和阴影部分的面积，然后根据S矩形ADLM=S矩形ADHE＋S矩形EHLM =S矩形EHCB＋S矩形LNGC=S阴影，即可证出结论；

（2）连接AG，利用平行证出△AML∽△GNL，然后列出比例式即可求出结论；

（3）连接PF，则PF=EF=a，HF=b，且a=3b，根据面积公式求出和即可求出结论．

解：（1）由图可知：AE=BE=BG=a，EM=b

由题已知：四边形ADLM、ADHE、EHCB、EHLM、LNGC都为矩形，四边形EFGB、HFNL都为正方形，CG=EM=b，BC=a－b且S矩形ADHE=S矩形EHCB，S矩形EHLM= S矩形LNGC

∴S矩形ADLM =AD·AM= BC·AM=（a－b）（a＋b）

图中阴影部分的面积=S正方形EFGB－S正方形HFNL=a2－b2

∵S矩形ADLM=S矩形ADHE＋S矩形EHLM =S矩形EHCB＋S矩形LNGC=S阴影

∴（a－b）（a＋b）= a2－b2

（2）连接AG，由题意可知，AG必过点L，

∵AM∥GN

∴△AML∽△GNL

∴

即

解得：a=3b

∴=3；

（3）连接PF，则PF=EF=a，HF=b，且a=3b

∴PH=

∴=PH·EH=·（a－b）=

=a（a－b）=

∴=