Question

8．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，线段EF与BH相交于点P，DF与GH相交于点Q．若四边形HPFQ是矩形，则$\frac{AB}{BC}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由矩形ABCD中，四边形HPFQ是矩形，易证得△BEF∽△CFD，然后由相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CD}$，又由点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，即可求得答案．

解答 解：∵四边形HPFQ是矩形，
∴∠EFD=90°，
∴∠BFE+∠CFD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD，
∴∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠CFD=∠BEF，
∴△BEF∽△CFD，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CD}$，
∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴$\frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{1}{2}BC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．注意证得△BEF∽△CFD是解此题的关键．