Question

13．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D在优弧ABC，∠ACD=45°．
（1）如图1，AB交CD于E，连CD，若AB=CD，求证：AC=$\sqrt{2}$AE；
（2）如图2，连AD、CD，若tan∠BAD=$\frac{1}{3}$，求tan∠BDC．

Answer 1

分析 （1）根据AB=AC，AB=CD得AC=CD，利用圆周角定理，得弧相等，得到∠ABD=∠ACD=45°，推出△ACE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）作辅助线，构建直角三角形，利用边角关系与已知条件，得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AB=CD，
∴AC=CD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CD}$，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠BDC=∠ABD=45°，
∴∠BAC=∠BDC=45°
∵∠ACD=∠ABD=45°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AE；

（2）解：作DG⊥AB于G，作ON⊥AB于N，延长AO交BC于M，
∴AM⊥BC，
∵tan∠BAD=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{1}{3}$，
令DG=GC=1，AG=3，
∴AC=4，AD=$\sqrt{10}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{5}$，OB=$\sqrt{5}$，
∵ON⊥AB，
∴AN=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵∠ANO=∠AMB=90°，∠NAO=∠BAM，
∴△AON∽△AMB，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{AO}{AB}$，
∴AM=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵OM=AM-OA=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，MC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠BDC=tan∠MOC=$\frac{MC}{OM}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理和解直角三角形，熟练运用圆周角定理，构建直角三角形是解此题的关键．