Question

【题目】如图所示，在△ABC中，AB=AC=，∠B=30°，点O为边BC上一点以Ｏ为圆心的圆经过点A，B．

（1）求作圆O(尺规作图，保留作留痕迹，不写作法）；

（2）求证：AC是OO的切线；

（3）若点P为圆O上一点，且弧PA=弧PB，连接PC，求线段PC的长．

Answer 1

【答案】（1）如图所示即为答案；（2）详见解析；（3）或2

【解析】

（1）根据外心的定义即可求作圆O；

（2）根据切线的判定即可证明AC是⊙O的切线；

（3）根据点P为圆O上一点，且弧PA＝弧PB，连接PC，即可求线段PC的长．

解：（1）如图，圆O即为所求；

（2）证明：连接OA，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠B＝30°，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B＝30°，

∴∠BAC＝120°，

∴∠CAO＝∠BAC﹣∠OAB＝90°，

∴OA⊥AC，OA是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（3）∵弧PA＝弧PB，

∴符合条件的点P有两个，P′和P″，连接P′C和P″C，

作P′E⊥BC于点E，

∵OP′⊥AB，

根据垂径定理，得

AF＝BF＝ AB＝，

∵∠B＝30，

∴∠P′OB＝60°，

∴OB＝，

∴P′E＝BF＝，

BE＝OB＝，

∵AB＝AC＝2，

作AD⊥BC于点D，则AD＝，DC＝，

∴BC＝2DC＝2，

∴CE＝BC﹣BE＝，

∴P′C＝；

连接P″C，

∵OA＝OP″，∠AOC＝∠COP″＝60°，OC＝OC，

∴△AOC≌△P″OC（SAS），

∴P″C＝AC＝2．

综上所述：线段PC的长为或2．