Question

【题目】如图，在RtABC中，∠C=90，AC=8，BC=6，O为ABC的内切圆，OA，OB与O分别交于点D，E，则劣弧DE的长是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AB于点H，得到四边形CFOG是矩形，根据切线长定理得到圆O的半径，再根据角平分线得到劣弧DE所对的圆心角，最后根据弧长的计算公式即可解答．

解：如图，作OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AB于点H，

设圆O的半径为r，

则四边形CFOG是矩形，

在Rt△ABC中，∵∠C=90，AC=8，BC=6，

∴AB=，

∵O为ABC的内切圆，

∴OF=OG，

∴矩形CFOG是正方形，

∴CF=CG=r，

则AF=AH=8-r，BG=BH=6-r，

∴AH+BH=8-r+6-r=10，解得：r=2，

又∵O为ABC的内切圆，

∴OA，OB分别平分∠CAB、∠ABC，

∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，

∵∠C=90°，

∴∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠ABC)=×90°=45°，

∴∠DOE=180°-(∠OAB+∠OBA)=135°，

∴劣弧DE的长是：，

故答案为：．