Question

3．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A（2$\sqrt{3}$，1），直线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2$\sqrt{3}$，从而求得反比例函数解析式；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2$\sqrt{3}$），确定AH=2$\sqrt{3}$-1，BH=2$\sqrt{3}$-1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2$\sqrt{3}$，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，-1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1；

解答 解：（1）由反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A（2$\sqrt{3}$，1），得：
k=2$\sqrt{3}$×1=2$\sqrt{3}$，
∴反比例函数为y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0），
（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0），得a=2$\sqrt{3}$，
∴B点坐标为（1，2$\sqrt{3}$），
∴AH=2$\sqrt{3}$-1，BH=2$\sqrt{3}$-1，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∵AD⊥y轴，
∴OD=1，AD=2$\sqrt{3}$，
∵tan∠DAC=$\frac{CD}{DA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=2，
∴OC=1，
∴C点坐标为（0，-1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（2$\sqrt{3}$，1）、C（0，-1）代入
得$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
解$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1；

点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式；作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．