Question

2．有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．

解答 解：在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．
理由如下：
以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，
作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．
设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，
过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图．
则⊙O是△ABG的外接圆，
∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，
∴AP=PB=$\frac{1}{2}$AB．
∵AB=270，
∴AP=135．
∵ED=285，
∴OH=285-135=150．
∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，
∴∠BAK=∠GAK=30°．
∴OP=AP•tan30°，
=135×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=45$\sqrt{3}$．
∴OA=2OP=90$\sqrt{3}$．
∴OH＜OA．
∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，
∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90$\sqrt{3}$．
∵OH⊥CD，OH=150，OM=90$\sqrt{3}$，
∴HM=$\sqrt{{OM}^{2}-{OH}^{2}}$=$\sqrt{（90\sqrt{3}）^{2}-{150}^{2}}$=30$\sqrt{3}$．
∵AE=400，OP=45$\sqrt{3}$，
∴DH=400-45$\sqrt{3}$．
若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400-45$\sqrt{3}$+30$\sqrt{2}$．
∵400-45$\sqrt{3}$+30$\sqrt{2}$＞340，
∴DM＞CD．
∴点M不在线段CD上，应舍去．
若点M在点H的右边，则DM=DH-HM=400-45$\sqrt{3}$-30$\sqrt{2}$．
∵400-45$\sqrt{3}$-30$\sqrt{2}$＜340，
∴DM＜CD．
∴点M在线段CD上．
综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，
此时DM的长为（400-45$\sqrt{3}$-30$\sqrt{2}$）米．

点评 本题考查了圆综合题，涉及垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．