Question

已知x₁，x₂是x²+2（m+3）x+2m+4=0的两实根，且满足y=（x₁-1）²+（x₂-1）²，则y的最小值为

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系,二次函数的最值

专题：

分析：根据方程有两个根，利用根的判别式求出m的取值范围，再根据根与系数的关系求出x₁+x₂=-2（m+3），x₁x₂=2m+4，然后把y=（x₁-1）²+（x₂-1）²整理成x₁+x₂与x₁x₂的形式，代入进行计算即可求解．

解答：解：∵△=[2（m+3）]²-4（2m+4）≥0，
即m²+4m+5≥0，
∴m为任意实数．
由x₁+x₂=-2（m+3），x₁x₂=2m+4，
y=（x₁-1）²+（x₂-1）²
=x₁²-2x₁+1+x₂²-2x₂+1
=（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2（x₁+x₂）+2
=[-2（m+3）]²-2（2m+4）-2×[-2（m+3）]+2
=4m²+24m+42
=4（m+3）²+6，
∴m=-3时，y的最小值为6．
故答案为6．

点评：本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，同时考查了二次函数的最值，根的判别式．