Question

【题目】已知如图：在⊙O中，直径AB⊥弦CD于G，E为DC延长线上一点，BE交⊙O于点F．

（1）求证：∠EFC＝∠BFD；

（2）若F为半圆弧AB的中点，且2BF＝3EF，求tan∠EFC的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接BD，圆心角、弧、弦间的关系得到∠BFD＝∠CDB；根据邻补角的定义和园内接四边形对角互补的性质推知∠EFC＝∠CDB，则∠EFC＝∠BFD；

（2）如图，连OF，OC，BC，由于∠EFC所在的三角形不是直角三角形，欲求求正切值，需要将其转化为求∠BCG的正切值，据此推知相关线段的长度即可．

（1）证明：如图，连接BD，

∵AB⊥CD 且AB为直径，

∴弧CB=弧BD．

∴∠BFD＝∠CDB．

又∵∠EFC+∠CFB＝180°，

而∠CFB+∠CDB＝180°，

∴∠EFC＝∠CDB，

∴∠EFC＝∠BFD；

（2）解：如图，连OF，OC，BC，

∵弧CB=弧BD，

∴∠DCB＝∠CDB，

∵∠EFC＝∠CDB，

∴∠EFC＝∠BFD＝∠BCG，

又F为半圆AB的中点，

∴∠FOB＝∠FOA＝90°，

∴OF//CD，

∴OG：OB＝EF：FB＝2：3．

设OG＝2x，则OB＝OC＝3x，则CG＝x，

∴tan∠EFC＝tan∠BCG＝＝．