Question

【题目】已知为等边三角形，点是线段上一点（不与，重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，．

（1）依题意补全图1并判断与的数量关系．

（2）过点作交延长线于点，用等式表示线段，与之间的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】（1）补全图形见解析，AD=BE；（2），证明见解析

【解析】

（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，得出∠ACD=∠BCE，证明△ACD≌△BCE，即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得出AD=BE，∠CBE=∠CAD=60°，求出∠ABF=180°-∠ABC-∠CBE=60°，在Rt△ABF中，由三角函数得出，，即可得出结论．

（1）补全图形如图1所示，AD=BE，

理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，

由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

（2）；理由如下：

由（1）得：△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠CBE=∠CAD=60°，

∴∠ABF=180°-∠ABC-∠CBE=60°，

∵AF⊥EB，

∴∠AFB=90°，

在Rt△ABF中，，

∴，

∵AD+DB=AB，

∴EB+DB=AB，

∴．