Question

已知，如图，双曲线y=

4

x

（x＞0）与直线EF交于点A，点B，且AE=AB=BF，连结AO，BO，它们分别与双曲线y=

2

x

（x＞0）交于点C，点D，则：
（1）AB与CD的位置关系是

 

；
（2）四边形ABDC的面积为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）首先过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，由双曲线y=

4

x

（x＞0）与直线EF交于点A、点B，且AE=AB=BF，可设点A的坐标为（m，

4

m

），得到点B的坐标为：（2m，

2

m

），则可由S_△OAB=S_△OAM+S_梯形AMNB-S_△OBN，求得△AOB的面积，易得△ODH∽△OBN，可得（

OD

OB

）²=

2

4

=

1

2

，继而可得

OC

OA

=

OD

OB

，所以AB∥CD  
（2）由

OC

OA

=

OD

OB

，∠COD=∠AOB则可证得△COD∽△AOB，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．

解答：解：（1）如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，
∴AM∥DH∥BN∥y轴，
设点A的坐标为：（m，

4

m

），
∵AE=AB=BF，
∴OM=MN=NF，
∴点B的坐标为：（2m，

2

m

），
∴S_△OAB=S_△OAM+S_梯形AMNB-S_△OBN=2+

1

2

×（

2

m

+

4

m

）×（2m-m）-2=3，
∵DH∥BN，
∴△ODH∽△OBN，
∴

OD

OB

=

DH

BN

=

OH

ON

，
∵DH•OH=2，BN•ON=4，
∴（

OD

OB

）²=

2

4

=

1

2

，
同理：（

OC

OA

）²=

1

2

，
∴

OC

OA

=

OD

OB

，
∴AB∥CD  
故答案为：AB∥CD  

（2）∵

OC

OA

=

OD

OB

，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴

S△COD

S△AOB

=（

OD

OB

）²=

1

2

，
∴S_△COD=

3

2

，
∴S_{四边形ABDC}=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：此题考查了反比例函数中k的几何意义以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．