Question

如图所示，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=15cm，下底BC=40cm，垂直于底的腰CD=30cm，现要截成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD边上，求矩形MPCN的面积S关于MN的长x的函数关系式．

Answer 1

考点：相似三角形的应用

专题：

分析：过点A作AE⊥BC于E得到矩形ADCE，根据矩形的对边相等可得CE=AD，AE=CD，然后求出BE，再表示出BP，然后根据△ABE和△MBP相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出MP，再根据矩形的面积公式列式整理即可得解．

解答：解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵CD是直角梯形垂直于底的腰，
∴四边形ADCE是矩形，
∴CE=AD=15cm，AE=CD=30cm，
∴BE=BC-CE=40-15=25cm，
∵MN=x，四边形MPCN是矩形，
∴BP=BC-CP=40-x，
∵MP∥AE∥CD，
∴△ABE∽△MBP，
∴

MP

AE

=

BP

BE

，
即

MP

30

=

40-x

25

，
解得MP=-

6

5

x+48，
∴矩形MPCN的面积S=（-

6

5

x+48）x=-

6

5

x²+48x．

点评：本题考查了相似三角形的应用，直角梯形的性质，矩形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形并表示矩形的边MP是解题的关键．