Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；

（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣5x+5，（2）G（3，﹣1），G（，）．（3）﹣1+

．

【解析】

（1）根据二次函数的图象与系数的关系列出方程组解出a，b，c的值即得二次函数的解析式；

（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，可得出B点的坐标即可列出方程组求出一次函数解析式，再根据S△BCD=S△BCG列出等式即可求得G；

（3）根据题意列出等式求出x的值，则B（k+4，k2+3k+1），再根据以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，得出O′P⊥x轴，P（，0），根据△AMP∽△PNB，得出AMBN=PNPM，代入数值即可求出k的值.

解：（1）由题意可得，

解得a=1，b=﹣5，c=5；

∴二次函数的解析式为：y=x2﹣5x+5，

（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，

则，

∵MQ=，

∴NQ=2，B（，）；

∴，

解得，

∴，D（0，），

同理可求，，

∵S△BCD=S△BCG，

∴①DG∥BC（G在BC下方），，

∴=x2﹣5x+5，

解得，，x2=3，

∵x＞，

∴x=3，

∴G（3，﹣1）．

②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，

∴=，

∴=x2﹣5x+5，

解得，，

∵x＞，

∴x=，

∴G（，），

综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（，）．

（3）由题意可知：k+m=1，

∴m=1﹣k，

∴yl=kx+1﹣k，

∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5，

解得，x1=1，x2=k+4，

∴B（k+4，k2+3k+1），

设AB中点为O′，

∵P点有且只有一个，

∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，

∴O′P⊥x轴，

∴P为MN的中点，

∴P（，0），

∵△AMP∽△PNB，

∴，

∴AMBN=PNPM，

∴1×（k2+3k+1）=（k+4﹣）（），

∵k＞0，

∴k==﹣1+．