Question

【题目】阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．

（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结BE、DE得到∠BED，求证：∠E＝∠B+∠D

悦悦是这样做的：

过点E作EF∥AB．则有∠BEF＝∠B．

∵AB∥CD，∴EF∥CD．

∴∠FED＝∠D．

∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．

即∠BED＝∠B+∠D．

（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．

（3）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．

Answer 1

【答案】（2）∠EGF＝90°；（3）详见解析.

【解析】

（2）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；
（3）如图3，过点G1作G1H∥AB由结论（1）可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．

证明：（2）如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；

由结论（1）得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，

∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，

∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，

∵BE∥CF，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，

∴∠BEG+∠GFD＝90°，

∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，

∴∠EGF＝90°；

（3）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，

∵AB∥CD，∴G1H∥CD，

由结论（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，

∴∠3＝∠G2FD，

∵FG2平分∠EFD，

∴∠4＝∠G2FD，

∵∠1＝∠2，

∴∠G2＝∠2+∠4，

∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，

∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴∠EG1F+∠G2＝180°．