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【题目】ABC中,AB=AC,A=60°,点D是线段BC的中点,EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.

(1)如图1,若DFAC,垂足为F,AB=4,求BE的长;

(2)如图2,将(1)中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:BE+CF=AB.

(3)如图3,若EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点,(2)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系.

【答案】(1)1(2)证明见解析(3)结论不成立.结论:BE﹣CF=AB

【解析】

试题分析:(1)如图1中,只要证明BED=90°,根据直角三角形30度角性质即可解决问题.

(2)如图2中,过点D作DMAB于M,作DNAC于N.只要证明BDM≌△CDN,EDM≌△FDN即可解决问题.

(3)(2)中的结论不成立.结论:BE﹣CF=AB,证明方法类似(2).

试题解析:(1)如图1中,

AB=AC,A=60°,

∴△ABC是等边三角形,

∴∠B=C=60°,BC=AC=AB=4,

点D是线段BC的中点,

BD=DC=BC=2,

DFAC,即CFD=90°,

∴∠CDF=30°,

∵∠EDF=120°,

∴∠EDB=30°,

∴∠BED=90°

BE=BD=1.

(2)如图2中,过点D作DMAB于M,作DNAC于N.

∵∠B=C=60°,BD=DC,BDM=CDN=30°,

∴△BDM≌△CDN,

BM=CN,DM=DN,

∵∠EDF=120°=MDN,

∴∠EDM=NDF,

∵∠EMD=FND=90°,

∴△EDM≌△FDN,

ME=NF,

BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB.

(3)结论不成立.结论:BE﹣CF=AB.

∵∠B=C=60°,BD=DC,BDM=CDN=30°,

∴△BDM≌△CDN,

BM=CN,DM=DN,

∵∠EDF=120°=MDN,

∴∠EDM=NDF,

∵∠EMD=FND=90°,

∴△EDM≌△FDN,

ME=NF,

BE﹣CF=BM+EM﹣(FN﹣CN)=2BM=BD=AB.

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