【题目】如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在线段BC上,且PE=PB.
(1)求证:①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
【答案】(1)①证明见解析,②证明见解析;
(2)①y=﹣x2+
x.(0<x<
);②当x=
时,y最大值=
.
【解析】试题分析:(1)可通过构建全等三角形来求解.过点P作GF∥AB,分别交AD、BC于G、F,那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD.在直角三角形AGP中,由于∠CAD=45°,因此三角形AGP是等腰直角三角形,那么AG=PG,而PB=PE,PF⊥BE,那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG,同理可得出两三角形的另一组对应边DG,PF相等,因此可得出两直角三角形全等.可得出PD=PE,∠GDP=∠EPF,而∠GDP+∠GPD=90°,那么可得出∠GPD+∠EPF=90°,由此可得出PD⊥PE.(2)求三角形PBE的面积,就要知道底边BE和高PF的长,(1)中已得出BF=FE=AG,那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG,GP即BF,FE的长,那么就知道了底边BE的长,而高PF=CD-GP,也就可求出PF的长,可根据三角形的面积公式得出x,y的函数关系式.然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值.
试题解析:(1)①过点P作GF∥AB,分别交AD、BC于G、F.如图所示:
∵四边形ABCD是正方形,
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形,
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴GD=FC=FP,GP=AG=BF,∠PGD=∠PFE=90°.
又∵PB=PE,
∴BF=FE,
∴GP=FE,
∴△EFP≌△PGD(SAS).
∴PE=PD.
②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴∠DPE=90°.
∴PE⊥PD.
(2)解:①过P作PM⊥AB,
可得△AMP为等腰直角三角形,
四边形PMBF为矩形,可得PM=BF,
∵AP=x,∴PM=x,
∴BF=PM=,PF=1﹣
.
∴S△PBE=BE×PF=BFPF=
x(1﹣
x)=﹣
x2+
x.
即y=﹣x2+
x.(0<x<
).
②y=﹣x2+
x=﹣
(x﹣
)2+
∵a=﹣<0,
∴当x=时,y最大值=
.
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【题目】阅读下面材料:
如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y1=ax+b与双曲线y2= 交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)两点.
观察图象可知:
①当x=﹣3或1时,y1=y2;
②当﹣3<x<0或x>1时,y1>y2,即通过观察函数的图象,可以得到不等式ax+b>的解集.
有这样一个问题:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.
某同学根据学习以上知识的经验,对求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集进行了探究.
下面是他的探究过程,请将(2)、(3)、(4)补充完整:
(1)将不等式按条件进行转化:
当x=0时,原不等式不成立;
当x>0时,原不等式可以转化为x2+4x﹣1>;
当x<0时,原不等式可以转化为x2+4x﹣1<;
(2)构造函数,画出图象
设y3=x2+4x﹣1,y4=,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象.
双曲线y4=如图2所示,请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1;(不用列表)
(3)确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象,猜想并通过代入函数解析式验证可知:满足y3=y4的所有x的值为 ;
(4)借助图象,写出解集
结合(1)的讨论结果,观察两个函数的图象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集为 .
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【题目】已知二次函数y=x2﹣bx+1(﹣1≤b≤1),当b从﹣1逐渐变化到1的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动.下列关于抛物线的移动方向的描述中,正确的是( )
A. 先往左上方移动,再往左下方移动 B. 先往左下方移动,再往左上方移动
C. 先往右上方移动,再往右下方移动 D. 先往右下方移动,再往右上方移动
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【题目】如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B,C在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.
(1)求证:BD=DE+CE;
(2)若直线AE绕点A旋转到图2位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何,请证明;
(3)若直线AE绕点A旋转到图3时(BD>CE),其余条件不变,BD与DE,CE的关系怎样?请直接写出结果,不须证明.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 三角形的三条高至少有一条在三角形内
B. 直角三角形只有一条高
C. 三角形的角平分线其实就是角的平分线
D. 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
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【题目】如图,⊙O的直径AB=12cm,C为AB延长线上一点,CP与⊙O相切于点P,过点B作弦BD∥CP,连接PD.
(1)求证:点P为的中点;
(2)若∠C=∠D,求四边形BCPD的面积.
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