Question

16．在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验，表盘是△ABC，其中AB=AC=20，∠BAC=120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程，设AP与BC边的交点为M，旋转2019秒，则MC=20．

Answer 1

分析 由于120=8×15，则可判断光线AP从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转8秒到达AC后再经过8秒返回AB，加上2019=126×16+3，于是可得到旋转2019秒时，AP从AB绕点A逆时针匀速旋转了3秒，则可计算出此时∠BAP=45°，所以∠CAP=75°，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠B=∠C=30°，再判定△AMC为等腰三角形，从而得到CA=CM=20．

解答 解：∵120=8×15，即光线AP从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转8秒到达AC后再经过8秒返回AB，
而2019=126×16+3，
∴当旋转2019秒时，AP从AB绕点A逆时针匀速旋转了3秒，
∴此时∠BAP=15°×3=45°，
∴∠CAP=120°-45°=75°，
∵AB=AC=20，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴∠AMC=∠B+∠BAM=30°+45°=75°，
∴CA=CM=20．
故答案为20．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是确定旋转2019秒时AP与AB的夹角．