Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，M，N分别为四边的中点，试说明：E，F，M，N四点在同一个圆上．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：要证E，F，M，N四点在同一个圆上，只需证明OE=OF=ON=OM，只需运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题．

解答：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°．
∵点E、F、N、M分别为四边的中点，
∴OE=

1

2

AB，OF=

1

2

BC，ON=

1

2

CD，OM=

1

2

AD，
∴OE=OF=ON=OM，
∴E、F、M、N四点在以点O为圆心，OE为半径的圆上，
∴E、F、M、N四点在同一个圆上．

点评：本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、四点共圆的判定等知识，解决本题的关键是找到一个点，使得该点到E、F、M、N四点的距离都相等．