Question

如图，在平面直角坐标系中，直线：y=kx+3k（k≠0）分别交x、y轴于点A、B两点，点C在x轴正半轴上，连结BC，tan∠OCB=3，OC=1．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿射线OA运动，过点P作x轴的垂线分别交直线AB、抛物线于点D、E．设线段DE的长为d，运动时间为t秒，求d与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设线段BC的垂直平分线交抛物线的对称轴L于点F，连接OF、CF，当t为何值时，△FOC∽△EDA，判断此时△BDE的形状．并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据正切函数，可得OB的长，根据函数值与自变量的关系，可得B、A点的坐标，根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据线段的长度，可得答案；
（3）分类讨论：0≤t＜3，t＞3，根据相似三角形的性质，可得t值，根据t值，可得E点坐标，根据B、E的坐标关系，可得答案．

解答：解：（1）如图1：

由tan∠OCB=3，OC=1，得
OB=3，B（0，3）．
当x=0时，y=3k=3，即k=1，y=x+3．
当y=0时，x+3=0，解得x=-3，A（-3，0）．
设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax²+bx+c，由题意，得

a(-3)2-3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

．
过A、B、C三点的抛物线的解析式y=-x²-2x+3；

（2）如图2，
，
当x=t时，y_E=-t²-2t+3，y_D=t+3，
d=

yE-yD(0≤t＜3) yD-yE(t＞3)

，
即d=

-t2-3t(0≤t＜3) t2+3t(t＞3)

；

（3）如图3：当t=2时，△FOC∽△EDA，此时△BDE是直角三角形，理由如下：

①当0＜t＜3时，
L：x=-1，BC的垂直平分线是y=3x+

4

3

，F（-1，-

5

3

），OF=

34

3

．
DE=-t²+3t，AD=t+3，
由△FOC∽△EDA，得

OC

ED

=

OF

AD

，即

1

-t2-3t

=

34 3

t+3

解得t=2或t=3（不符合题意，舍去）
②当t＞3时，△FOC∽△EDA，得

OC

ED

=

OF

AD

，即

1

t2+3t

=

34 3

t+3

，
解得t=2或t=3，（均不符合题意，舍去）
∴t=2时，y_E=3，
BE⊥DE，∠DEB=90°，
∴△BED是直角三角形．

点评：本题考查了二次函数的综合题，利用了待定系数法求解析式，相似三角形的性质，直角三角形的判定．