Question

如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，且CD⊥AB于点B，E为

AC

的中点，BE与AC、
CD分别相交于N、M．求证：△CMN为等腰三角形．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：连接OE交AC于点G，则OE⊥AC，在Rt△EGN和Rt△BDM中，可得∠E+∠ENG=90°，∠B+∠BMD=90°，且∠E=∠B，可得出∠ENG=∠BMD，即可得出∠CNM=∠CMN，所有可得出CN=CM，证得结论．

解答：
证明：
连接OE交AC于点G，
∵E为

AC

的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠E+∠ENG=90°，
∵CD⊥AB于点B，
∴∠B+∠BMD=90°，
∴∠ENG=∠BMD，
又∠ENG=∠CNM，∠BMD=∠CMN，
∴∠CNM=∠CMN，
∴CN=CM，
∴△CMN为等腰三角形．

点评：本题主要考查垂径定理及等腰三角形的判定和性质，由条件得到OE⊥AC是解题的关键．