Question

【题目】如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且．

判断直线PD是否为的切线，并说明理由；

如果，，求PA的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1

【解析】

解：(1) PD是⊙O的切线，连接OD，∵OB=OD，∴2=PBD，

又∵PDA=PBD，∴PDA=2，又∵AB是半圆的直

径，∴ADB=90°，即1+2=90°，∴1+PDA=90°，

即OD^PD，∴PD是⊙O的切线。

(2) 方法一：

∵BDE=60°，ODE=90°，ADB=90°，

∴2=30°，1=60°。∵OD=OA，

∴△AOD是等边三角形。

∴POD=60°。∴P=PDA=30°，∴PA=AD=AO=OD，

在Rt△PDO中，设OD=x，

∴x2+()2=(2x)2，∴x1=1，x2= -1 (不合题意，舍去)，

∴PA=1。

方法二：

∵OD^PE，AD^BD，BDE=60°，∴2=PBD=PDA=30°，

∴OAD=60°，

∴P=30°，∴PA=AD=OD，在Rt△PDO中，P=30°，PD=，

∴tanP=，

∴OD=PDtanP=tan30°==1，∴PA=1。