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【题目】如图,△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.

(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ABDF为菱形时,求CD的长.

【答案】
(1)证明:∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,

∴AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠BAC=45°,

∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3,即∠BAE=∠CAF,

在△ABE和△ACF中

∴△ABE≌△ACF,

∴BE=CF


(2)解:∵四边形ABDF为菱形,

∴DF=AF=2,DF∥AB,

∴∠1=∠BAC=45°,

∴△ACF为等腰直角三角形,

∴CF= AF=2

∴CD=CF﹣DF=2 ﹣2.


【解析】(1)根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠BAC=45°,然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF,于是根据全等三角形的性质即可得到结论;(2)根据菱形的性质得DF=AF=2,DF∥AB,再利用平行线的性质得∠1=∠BAC=45°,则可判断△ACF为等腰直角三角形,所以CF= AF=2 ,然后计算CF﹣DF即可.
【考点精析】通过灵活运用菱形的性质和旋转的性质,掌握菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半;①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了即可以解答此题.

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